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\begin{document}

\title{La elipse}

\maketitle

La gráfica de una elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo es
llamado eje mayor; los focos de la elipse están sobre el eje mayor. El eje
más corto es llamado eje menor. La longitud del eje mayor se denota por $2 a$
, mientras que la longitud del eje menor se denota por $2 b$ . El semieje
mayor es la mitad del eje mayor y tiene una longitud de $a$ y el semieje menor
es la mitad del eje menor y tiene longitud $b$. El centro de la elipse es el
punto medio del eje mayor. Los puntos extremos de los ejes son los vértices
de la elipse.

Consideremos el punto $B (a, 0)$, sobre el eje OX, uno de los vértices de la
elipse horizontal con centro en el origen de coordenadas. Consideremos los
focos $F_1 (- c, 0)$ y $F_2 (c, 0)$. La distancia de $F_1$ a $B$ es $a + c$, y
la distancia de $F_2$ a $B$ es $a - c$. Observa lo que decimos en la siguiente
imagen.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.63342844024662cm]{teoriaElipse-1.pdf}}
\end{center}

Según la definición de la elipse la suma de distancias desde cualquier punto
hasta los focos ha de ser un número constante, según lo que hemos visto si
sumamos las distancias desde el vértice $B$, hasta cada uno de los focos
obtenemos:
\[ d (B, F_1) + d (B, F_2) = (a + c) + (a - c) = 2 a \]
Esta es la constante a la que se refiere la definición, que coincide con la
longitud del eje mayor.

\subsection*{Ecuación de la elipse.}

Para obtener una ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
considere la siguiente figura en donde $P (x, y)$ es un punto de la elipse.
Utilizando la definición de elipse se tiene:

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.63342844024662cm]{teoriaElipse-2.pdf}}
\end{center}
\[ \begin{array}{rll}
     d (P, F_1) + d (P, F_2) & = & 2 a\\
     \sqrt{(x - (- c))^2 + (y - 0)^2} + \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} & = & 2
     a\\
     \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} & = & 2 a
   \end{array} \]
Para simplificar esta ecuación trasladamos el segundo radical al segundo
miembro y elevamos al cuadrado ambos miembros.
\[ \begin{array}{rll}
     \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \right)^2 & = & \left( 2 a - \sqrt{(x -
     c)^2 + y^2} \right)^2\\
     (x + c)^2 + y^2 & = & 4 a^2 - 4 a \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 +
     y^2
   \end{array} \]
desarrollamos los binomios y reducimos términos semejantes y
\[ \begin{array}{rll}
     \not{x^2} + 2 c x + \not{c^2} + \not{y^2} & = & 4 a^2 - 4 a \sqrt{(x -
     c)^2 + y^2} + \not{x^2} - 2 c x + \not{c^2} + \not{y^2}\\
     \not{4} c x - \not{4} a^2 & = & - \not{4} a \sqrt{(x - c)^2 + y^2}\\
     (c x - a^2)^2 & = & \left( - a \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \right)^2\\
     c^2 x^2 - 2 c x a^2 + a^4 & = & a^2 (x^2 - 2 c x + c^2 + y^2)\\
     c^2 x^2 - 2 c x a^2 + a^4 & = & a^2 x^2 - 2 c x a^2 + a^2 c^2 + a^2 y^2\\
     c^2 x^2 - a^2 x^2 - a^2 y^2 & = & a^2 c^2 - a^4
   \end{array} \]
multiplicando ambos miembros por $- 1$ y sacando factor común, obtenemos
\[ \begin{array}{rll}
     a^2 x^2 - c^2 x^2 + a^2 y^2 & = & a^4 - a^2 c^2\\
     (a^2 - c^2) x^2 + a^2 y^2 & = & a^2 (a^2 - c^2)
   \end{array} \]
Veamos ahora detenidamente la expresión $(a^2 - c^2)$, observando la
siguiente imagen.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.63342844024662cm]{teoriaElipse-3.pdf}}
\end{center}

entonces $a^2 - c^2 = b^2$, gracias al teorema de Pitágoras y al triángulo
rectángulo que puedes ver en la figura anterior. Sustituimos y dividimos
ambos miembros por $a^2 b^2$
\[ \begin{array}{rll}
     b^2 x^2 + a^2 y^2 & = & a^2 b^2\\
     \frac{\not{b^2} x^2}{a^2 \not{b^2}} + \frac{\not{a^2} y^2}{\not{a^2} b^2}
     & = & \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2}\\
     &  & \\
     \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} & = & 1
   \end{array} \]
Esta es la ecuación estándar de una elipse horizontal con centro en el
origen y donde $a > b$ y se verifica que $c^2 = a^2 - b^2$.

En esta elipse tenemos que:

\begin{center}
  \begin{tabular}{lll}
    \hline
    Longitud eje mayor $= 2 a$ &  & Longitud eje menor $= 2 b$\\
    \hline
    Centro: $C (0, 0)$ &  & Vértices: $(- a, 0), (a, 0), (0, - b), (0, b)$\\
    \hline
    Focos: $F_1 (- c, 0)$ y $F_2 (c, 0)$ &  & \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Elipse vertical}

Si la elipse tiene su eje mayor vertical, a lo largo del eje OY, con el centro
también en el origen tendremos la siguiente situación:

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=8.01936573527483cm,height=10.455365341729cm]{teoriaElipse-4.pdf}}
\end{center}

En este caso para obtener la ecuación estantar solo tendríamos que proceder
intercambiando $x$ por $y$. El razonamiento es totalmente simétrico, con lo
que al finalizar obtendríamos la ecuación:
\[ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \]
Como puedes observar el resultado final es intercambiar las varianbles $x$ e
$y$.

\subsection*{Elipses horizontales o verticales con centro en cualquier punto.}

Si la elipse horizontal (o vertical) tiene su centro en cualquier punto del
plano, su ecuación es prácticamente idéntica. Lo que hacemos es trasladar
el origen de coordenadas al punto que ahora es el centro de tal forma que si
el centro de nuestra elipse está en las coordenadas $V (h, k)$, restando $h$
a la variable $x$ y $k$ a la variable $y$, al realizar los cálculos con esta
traslación obtendremos la ecuación:
\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \]
En la imagen puedes observar como afecta el cambio del centro a los focos y
los vértices.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=9.04187163846255cm]{teoriaElipse-5.pdf}}
\end{center}

De la misma forma si la elipse tiene centro $V (h, k)$ y el semieje mayor es
vertical su ecuación será:
\[ \frac{(y - k)^2}{a^2} + \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \]


\end{document}
