\documentclass{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,graphicx,enumerate}

%%%%%%%%%% Start TeXmacs macros
\newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}}
\newcommand{\tmtextbf}[1]{\text{{\bfseries{#1}}}}
\newenvironment{enumeratenumeric}{\begin{enumerate}[1.] }{\end{enumerate}}
\newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}}
%%%%%%%%%% End TeXmacs macros

\begin{document}

\title{La Parábola}

\maketitle

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos $P (x, y)$ que están a la
misma distancia de una recta fija $d$, llamada directriz y de un punto fijo
(no perteneciente a dicha recta), llamado foco, $F$.



\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=8.79816837203201cm,height=10.455365341729cm]{parabolateoria-1.pdf}}
\end{center}

En la imagen podemos observar como se obtiene una parábola con la
intersección de un plano paralelo a la generatriz del doble cono y el propio
cono.

Para obtener las ecuaciones de la parábola debemos guiarnos por la
definición del primer parrafo.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.86990030171848cm]{parabolateoria-2.pdf}}
\end{center}

En esta imagen puedes observar como cualquier punto $P$ de la parábola esta a
la misma distancia de la recta directriz y de su foco. También puedes
observar el vértice de la parábola (es el punto medio entre el foco y la
directriz, denotado por $V$, designamos por $p$, a la distancia entre el foco
y la directriz.

La parábola de la imagen anterior es una parábola inclinada. En este estudio
matemático nos vamos a centrar en encontrar las ecuaciones de parábolas
verticales y horizontales, suficientes para nuestro estudio.

Si tomamos como eje Y el eje de simetría de la parábola, situamos el
vértice en el punto (0,0) y tomamos el eje X paralelo a la recta directriz
(pasando por el vértice (0,0)). Tendremos la siguiente situación:

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.43745080676899cm]{parabolateoria-3.pdf}}
\end{center}

De esta forma podemos establecer:
\[ \begin{array}{lll}
     d (P, F) & = & \sqrt{x^2 + \left( y - \frac{p}{2} \right)^2}\\
     d (P, d) & = & \frac{\left| y + \frac{p}{2} \right|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} =
     y + \frac{p}{2}
   \end{array} \]
y de aqui, igualando y elevando al cuadrado ambos miembros:
\[ \begin{array}{rll}
     \left( \sqrt{x^2 + \left( y - \frac{p}{2} \right)^2} \right)^2 & = &
     \left( y + \frac{p}{2} \right)^2\\
     x^2 + y^2 - p y + p^2 & = & y^2 + y p + p^2\\
     x^2 + y^2 - y^2 - p y - p y + p^2 - p^2 & = & 0\\
     x^2 - 2 p y & = & 0\\
     y & = & \frac{x^2}{2 p}
   \end{array} \]
Esto quiere decir que sabiendo el foco de una parábola vertical, con vértice
en el origen podemos escribir inmediatamente su ecuación.

De forma simétrica, si la parabola es horizontal con vértice en el origen y
foco en $F \left( \frac{p}{2}, 0 \right)$. De forma análoga su ecuación
resultará del intercambio de las variables $x$ e $y$, $x = \frac{y^2}{2 p}$.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=7.43745080676899cm]{parabolateoria-4.pdf}}
\end{center}

\section*{Conceptos físicos de la trayectoria de un chorro de agua.}

El estudio de la trayectoria de un chorro de agua es uno de los ejemplos más
elegantes de la cinemática clásica. Aunque en la realidad intervienen
factores como la resistencia del aire y la viscosidad, el modelo ideal nos
permite entender la relación entre la fuerza (presión) y la geometría
(ángulo).

\subsection*{Relación entre presión y velocidad.}

El chorro de agua de una fuente describe una trayectoria parabólica. Antes de
analizar la parábola, debemos saber a qué velocidad sale el agua. Según el
\tmtextbf{Principio de Bernoulli}, la presión interna del sistema se
convierte en energía cinética. Para un orificio pequeño en un tanque o una
boquilla, la velocidad de salida ($v_0$) se relaciona con la presión ($P$)
mediante la fórmula:
\[ v_0 = \sqrt{\frac{2 (P - P_{\tmop{atm}})}{\rho}} \]
Donde:
\begin{itemizedot}
  \item $P$ es la presión interna.
  
  \item $P_{\tmop{atm}}$ es la presión atmosférica.
  
  \item $\rho$ (rho) es la densidad del agua (aprox. $1000 \tmop{kg} / m^3$).
\end{itemizedot}

\subsection*{Vector velocidad. Ecuación explícita de la parabola.}

Al igual que en un tíro parabólico, Una vez que el agua sale de la boquilla,
el chorro se descompone en dos movimientos independientes: uno horizontal
constante y uno vertical acelerado por la gravedad ($g \approx 9.8 \quad m /
s^2$).

El vector velocidad, tomando que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal,
se descompondrá en sus dos componentes:
\begin{itemize}
  \item Componente horizontal: $x (t) = v_0 \cos (\theta) t$
  
  \item Componente vertical: $y (t) = v_0 \tmop{sen} (\theta) t - \frac{1}{2}
  gt^2$
\end{itemize}
\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=5.70292207792208cm]{parabolateoria-5.pdf}}
\end{center}

Si despejamos $t$ en la primera ecuación:
\[ \begin{array}{lll}
     x (t) & = & v_0 \cos (\theta_0) t\\
     t & = & \frac{x}{v_0 \cos (\theta_0)}
   \end{array} \]
sustituimos en la segunda y obtenemos:
\[ \begin{array}{lll}
     y & = & v_0 \tmop{sen} (\theta_0) \frac{x}{v_0 \cos (\theta_0)} -
     \frac{1}{2} g {\left( \frac{x}{v_0 \cos (\theta_0)} \right)^2} \\
     y & = & x \tan (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x^2
   \end{array} \]
que es la ecuación explicita ($y = a x^2 + bx + c$) de una parábola vertical
con las ramas hacia abajo que pasa por el origen $(0, 0)$, donde
\[ \begin{array}{lll}
     a & = & - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)}\\
     b & = & \tan (\theta_0)\\
     c & = & 0
   \end{array} \]

\subsection*{Alcance y altura del chorro de agua.}

Con esta información podemos calcular el «alcance» ($R$), del chorro, asi
como la altura máxima del mismo (que se corresponde con la coordenada $y$ del
vértice de esta parábola).

\paragraph{Puntos de corte.}

Como ya hemos visto uno de los puntos de corte es el origen de coordenadas, en
$x = 0$, que se corresponde con el punto de salida del chorro. En cualquier
caso ambos se obtienen de las soluciones de la ecuación:
\[ \begin{array}{rll}
     x \tan (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x^2 & = & 0\\
     x \left( \tan (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x \right)
     & = & 0
   \end{array} \]
de este producto de factores igual a cero obtenemos que o bien uno de ellos es
0, ($x_1 = 0$), o bien el otro es 0
\[ \begin{array}{rll}
     \tan (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x & = & 0\\
     - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x & = & - \tan (\theta_0)\\
     \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x & = & \tan (\theta_0)\\
     x & = & \frac{\tan (\theta_0) \cdot 2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)}{g}
   \end{array} \]
Como $\tan (\theta_0) = \frac{\tmop{sen} (\theta_0)}{\cos (\theta_0)}$ y $2
\tmop{sen} (\theta_0) \cos (\theta_0) = \tmop{sen} (2 \theta_0)$, sustituyendo
en la expresión anterior y simplificando obtenemos que el segundo punto de
corte es:
\[ x_2 = \frac{v^2_0 \tmop{sen} (2 \theta_0)}{g} \]
Esta es la expresión del alcance máximo del chorro $R = \frac{v^2_0
\tmop{sen} (2 \theta_0)}{g}$

La altura máxima la encontramos en el vértice de la parabola. La coordenada
$x_v$ del vértice estaen $\frac{- b}{2 a}$, donde como hemos visto
\[ \begin{array}{lll}
     a & = & - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)}\\
     b & = & \tan (\theta_0)
   \end{array} \]
Entonces:
\[ \begin{array}{llllll}
     x_v & = & \frac{- \tan (\theta_0)}{- 2 \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2
     (\theta_0)}} & = & \frac{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0) \tan (\theta_0)}{2 g}
     & =\\
     & = & \frac{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0) \frac{\tmop{sen} (\theta_0)}{\cos
     (\theta_0)}}{2 g} & = & \frac{v^2_0 2 \tmop{sen} (\theta_0) \cos
     (\theta_0)}{2 g} & =\\
     & = & \frac{v^2_0 \tmop{sen} (2 \theta_0)}{2 g} &  &  & 
   \end{array} \]
que se corresponde como ya podíamos esperar con el punto medio del alcance
máximo, es decir $\frac{R}{2}$.

La altura máxima se corresponde con la coordenada $y$ del vértice que
obtenemos sustituyendo $x_v$ obtenida en la ecuación explícita de la
parábola.
\[ \begin{array}{llcl}
     y_v & = & x_v \tan (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} x_v^2
     & =\\
     & = & \left( \frac{v^2_0 \tmop{sen} (2 \theta_0)}{2 g} \right) \tan
     (\theta_0) - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} \left( \frac{v^2_0
     \tmop{sen} (2 \theta_0)}{2 g} \right)^2 & =\\
     & = & \tan (\theta_0) \frac{v^2_0 \tmop{sen} (\theta_0) \cos
     (\theta_0)}{g} - \frac{g}{2 v^2_0 \cos^2 (\theta_0)} \left( \frac{v^2_0
     \tmop{sen} (\theta_0) \cos (\theta_0)}{g} \right)^2 & 
   \end{array} \]
Si usamos que $\tan (\theta_0) \cdot \cos (\theta_0) = \tmop{sen} (\theta_0)$,
realizando operaciones y simplificando obtenemos:
\[ \begin{array}{rll}
     y_v = & \frac{v_0^2 \tmop{sen}^2 (\theta_0)}{g} - \frac{v_0^2
     \tmop{sen}^2 (\theta_0)}{2 g} & =\\
     = & \frac{v_0^2 \tmop{sen}^2 (\theta_0)}{2 g} = H & 
   \end{array} \]
Resumiento:
\begin{itemizedot}
  \item Velocidad inicial, $v_0 = \sqrt{\frac{2 (P - P_{\tmop{atm}})}{\rho}}$
  
  \item Alcance máximo (suponiendo velocidad $v_0$ y ángulo de salida
  $\theta_0$)
  \[ \text{Punto: } \left( \frac{v^2_0 \tmop{sen} (2 \theta_0)}{g}, 0 \right)
  \]
  \item Vértice (altura máxima, suponiendo velocidad $v_0$ y ángulo de
  salida $\theta_0$)
  \[ \text{Punto: } \left( \frac{v^2_0 \tmop{sen} (2 \theta_0)}{2 g},
     \frac{v_0^2 \tmop{sen}^2 (\theta_0)}{2 g} \right) \]
\end{itemizedot}
Por ejemplo, si la presión de salida del agua es de 2 bares y suponemos una
presión atmosférica de 1 bar y tomamos la densidad del agua como $\rho =
1000 \tmop{kg} / m^3$. Teniendo en cuenta que 1 bar = 100 000 Pascales (el
pascal es la medida en las unidades adecuadas para realizar los cálculos, $1
\tmop{Pa} = 1 \tmop{Newton} / m^2$). Calculamos la velocidad de salida del
agua:
\[ v_0 = \sqrt{\frac{2 (200000 - 100000)}{1000}} = \sqrt{200} \approx 14.14 m
   / s \]
Si el ángulo de inclinación del chorro $\theta_0 = 45^{\circ}$, tendremos:
\begin{enumeratenumeric}
  \item Alcance máximo ($R$):
  \[ R = \frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 45)}{g} = \frac{200 \cdot 1}{9,
     8} \approx 20, 41 m \]
  \item Vértice (altura máxima H):
  \[ \begin{array}{rll}
       x_v & = & \frac{R}{2} = \frac{20, 41}{2} = 10, 20 m\\
       H = y_v & = & \frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (45)}{2 g} = \frac{200
       \cdot 0, 5}{19, 6} \approx 5, 10 m
     \end{array} \]
  \item En una fuente real, la fricción en la tubería y la resistencia del
  aire (que crece con el cuadrado de la velocidad) harían que el alcance
  fuera un 20-30\% menor. Sin embargo, matemáticamente, este es el límite
  teórico del sistema.
\end{enumeratenumeric}
Veamos la gráfica de esta parábola.

\begin{center}
  \raisebox{0.0\height}{\includegraphics[width=10.455365341729cm,height=5.48108520267611cm]{parabolateoria-6.pdf}}
\end{center}

Si variamos el ángulo de salida varía el alcance y la altura máxima. Lo
vemos realizando las operaciones con distintos ángulos de salida, manteniendo
la presión en los 2 bares.

\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}
    \hline
    Ángulo ($\theta_0$) & Altura & Alcance\\
    \hline
    $20^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (20)}{2 g} = 1, 19$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 20)}{g} = 13, 12$ m.\\
    \hline
    $30^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (30)}{2 g}$=$2, 55$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 30)}{g} = 17, 67$ m.\\
    \hline
    $40^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (40)}{2 g} = 4, 22$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 40)}{g} = 20, 10$ m.\\
    \hline
    $50^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (50)}{2 g} = 5, 99$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 50)}{g} = 20, 10$ m.\\
    \hline
    $60^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (60)}{2 g} = 7, 65$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 60)}{g} = 17, 67$ m\\
    \hline
    $70^{\circ}$ & $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen}^2 (70)}{2 g} = 9, 01$ m. &
    $\frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \cdot 70)}{g} = 13, 12$ m\\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

En esta tabla puedes se puede observar como, siendo 45 grados cuando se
obtiene un mayor alcance, los valores que están a la misma distancia de 45
(20 y 70, 30 y 60, 40 y 50 grados), consiguen un alcance idéntico.

Si se tuviera una limitación de anchura, o quisieramos un alcance concreto
($R < 20, 41$), tan solo tendríamos que despejar el ángulo ($\theta_0$) de
salida en la ecuación:
\[ \frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \theta_0)}{g} = R \]
con esto obtendremos el ángulo adecuado para el alcance que deseamos obtener.
\[ \begin{array}{rll}
     \frac{v^2_0 \cdot \tmop{sen} (2 \theta_0)}{g} & = & R\\
     \tmop{sen} (2 \theta_0) & = & \frac{R \cdot g}{v^2_0}\\
     2 \theta_0 & = & \tmop{arcsen} \left( \frac{R \cdot g}{v^2_0} \right)\\
     \theta_0 & = & \frac{\tmop{arcsen} \left( \frac{R \cdot g}{v^2_0}
     \right)}{2}
   \end{array} \]

\end{document}
